Diferencia entre el producto de punto y el producto cruzado

: 21 de enero de 2022

El álgebra vectorial es una parte integral de Física y Matemáticas. Simplifica los cálculos y ayuda en el análisis de una amplia variedad de conceptos espaciales. Un vector es una cantidad física que tiene una magnitud y dirección. Su contraparte es una cantidad escalar que solo tiene magnitud pero no dirección.

Un vector puede manipularse utilizando dos operaciones básicas. Estas operaciones son el producto de punto y el producto cruzado, y tienen grandes diferencias.

Producto de punto versus producto cruzado

La principal diferencia entre el producto de punto y el producto cruzado de dos vectores es que el resultado del producto de punto es una cantidad escalar, mientras que el resultado del producto cruzado es una cantidad vectorial.

Un producto puntual de dos vectores también se denomina producto escalar. Es el producto de la magnitud de los dos vectores y el coseno del ángulo que forman entre sí.

Un producto cruzado de dos vectores también se denomina producto vectorial. Es el producto de la magnitud de los dos vectores y el seno del ángulo que se forman entre sí.

Tabla de comparación entre el producto de punto y el producto cruzado ( en forma tabular )

Parámetro de comparación Producto de punto Producto cruzado Definición general Un producto de punto es el producto de la magnitud de los vectores y el cos del ángulo entre ellos. Un producto cruzado es el producto de la magnitud de la vectores y el seno del ángulo que se suman entre sí. Relación matemática El producto de punto de dos vectores A y B se representa como : Α.Β = ΑΒ cos θ El producto cruzado de dos vectores A y B se representa como : Α × Β = ΑΒ sin θResultante El resultado del producto puntual de los vectores es una cantidad escalar. El resultado del producto cruzado de los vectores es una cantidad vectorial. Ortogonalidad de los vectores El producto puntual es cero cuando los vectores son ortogonales ( θ = 90 ° ).El producto cruzado es máximo cuando los vectores son ortogonales ( θ = 90 ° ).Commutatividad El producto puntual de dos vectores sigue la ley conmutativa: A. B = B. El producto cruzado de dos vectores no sigue la ley conmutativa: A × B ≠ B × A

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¿Qué es el producto de punto?

Un producto puntual o producto escalar de dos vectores es el producto de sus magnitudes y el coseno del ángulo subtendido por un vector sobre el otro. También se llama el producto interno o el producto de proyección.

Se representa como:

A · Β = | A | | B | cos θ

El resultado es una cantidad escalar, por lo que solo tiene magnitud pero no dirección.

Tomamos el coseno del ángulo para el cálculo del producto de punto para que los vectores se alineen en la misma dirección. De esta manera, obtenemos la proyección de un vector sobre el otro.

Para vectores con n dimensiones, el producto de punto viene dado por:

A · Β = Σ α¡b¡

El producto de punto tiene las siguientes propiedades:

Α· b = b · α

  • Sigue la ley distributiva.

Α · ( b + c ) = α · b + α · c

  • Sigue la ley de multiplicación escalar.

( λα ) · ( μb ) = λμ ( α · b )

El producto de punto tiene las siguientes aplicaciones:

  • Se usa para encontrar la distancia entre dos puntos en un plano.

Se utiliza para encontrar la proyección de un punto en el plano cuando se conocen sus coordenadas.

¿Qué es el producto cruzado?

Un producto cruzado o producto vectorial de dos vectores es el producto de sus magnitudes y el seno del ángulo subtendido por uno sobre el otro. También se llama el producto de área dirigida.

Se representa como:

A × Β = | A | | B | sin θ

El resultado es otra cantidad vectorial. El vector resultante es perpendicular a ambos vectores. Su dirección se puede determinar utilizando la regla de mano derecha –.

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Se deben tener en cuenta las siguientes reglas al calcular el producto cruzado:

  • I × j = k
  • J × k = i
  • K × I = j

Donde I, j y k son los vectores unitarios en dirección x, y y z respectivamente.

El producto cruzado tiene las siguientes propiedades:

a × b = – ( b × α )

  • Sigue la ley distributiva.

a × ( b + c ) = α × b + α × c

  • Sigue la ley de multiplicación escalar.

( λα ) × ( b ) λ = α ( b × )

El producto cruzado tiene las siguientes aplicaciones:

  1. Se utiliza para encontrar la distancia entre dos líneas oblicuas.
  2. Se usa para determinar si dos vectores son coplanares.

Diferencias principales entre el producto de punto y el producto cruzado

El producto de punto y el producto cruzado permiten cálculos en álgebra vectorial. Tienen diferentes aplicaciones y diferentes relaciones matemáticas.

Las principales diferencias entre los dos son:

  1. El producto de punto de dos vectores es el producto de sus magnitudes y el coseno del ángulo que se subestiman entre sí. Por otro lado, el producto cruzado de dos vectores es el producto de sus magnitudes y el seno del ángulo entre ellos.
  2. La relación para el producto de punto es: α • b = | a | | b | cos θ. Por otro lado, la relación para el producto cruzado es: α × b = | α | | b | sin θ
  3. El resultado del producto puntual de dos vectores es una cantidad escalar, mientras que el resultado del producto cruzado de dos vectores es una cantidad vectorial.
  4. Si dos vectores son ortogonales, entonces su producto puntual es cero, mientras que su producto cruzado es máximo.
  5. El producto de punto sigue la ley conmutativa, mientras que el producto cruzado es anti – conmutativo.

Síntesis

El álgebra vectorial tiene una gran utilidad en varios temas matemáticos. Su uso es muy común en geometría y electromagnetismo. El producto de punto y el producto cruzado de vectores son las operaciones básicas en álgebra vectorial. Tienen varias aplicaciones. El producto de punto calcula una cantidad escalar. Esta cantidad es generalmente distancia o longitud.

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El producto cruzado calcula una cantidad vectorial. Entonces, tenemos otro vector en el espacio. Podemos realizar operaciones como suma, resta y multiplicación en vectores. El desplazamiento, la velocidad y la aceleración son vectores comunes en Física.

El concepto de vector evolucionó hace más de 200 años. Desde entonces, ha florecido debido a las contribuciones de muchos matemáticos y científicos.

  1. https://www.osapublishing.org/abstract.cfm?uri=ol-37-5-972
  2. https://www.maa.org/sites/default/files/pdf/upload_library/4/vol6/Dray/Dray.pdf

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